Cum se găsește zona unui segment circular

Una dintre problemele geometrice obișnuite este calcularea ariei unui segment circular - partea unui cerc mărginit de o coardă și coarda corespunzătoare a unui arc al unui cerc.

Suprafața segmentului circular este egală cu diferența dintre aria sectorului circular corespunzător și aria triunghiului format din razele segmentului corespunzător al sectorului și coarda care mărginește segmentul.

Exemplul 1

Lungimea coardei care contractă un cerc este egală cu valoarea lui. Măsura gradului arcului corespunzător coardei este de 60 °. Găsiți zona segmentului circular.

decizie

Un triunghi format din două radii și o coardă este izoscel, astfel încât înălțimea desenată de la vârful unghiului central până la partea triunghiului format de coardă va fi, de asemenea, bisectoarea unghiului central, înjumătățindu-l și median, reducând la jumătate coarda. Știind că sinusul unghiului într-un triunghi dreptunghic este egal cu raportul laturii opuse față de ipotenuză, putem calcula raza:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Suprafața sectorului corespunzător unui unghi dat poate fi calculată după următoarea formulă:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Zona triunghiului corespunzător sectorului este calculată după cum urmează:

S ▲ = 1/2 * ah, unde h este înălțimea trasă din vârful unghiului central față de coardă. După teorema lui Pitagore, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

În consecință, S ▲ = √3 / 4 * a².

Zona segmentului, calculată ca Sseg = Sc - S ▲, este egală cu:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Înlocuind o valoare numerică în loc de a, puteți calcula cu ușurință valoarea numerică a zonei segmentului.

Exemplul 2

Raza cercului este egală cu a. Măsura gradului arcului corespunzător segmentului este de 60 °. Găsiți zona segmentului circular.