Cum se rezolvă sistemele de ecuații

Nu este dificil să rezolve sistemul de ecuații prin utilizarea metodelor de bază pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare: metoda de substituție și metoda de adăugare.

Manual de instrucțiuni

1

Să luăm în considerare metodele de soluționare a unui sistem de ecuații folosind un exemplu de sistem de două ecuații liniare cu două valori necunoscute. În termeni generali, un astfel de sistem este scris după cum urmează (în stânga, ecuațiile sunt combinate cu o paranteză cretă):

ax + b = c

dx + ey = f, unde

a, b, c, d, e, f sunt coeficienții (numere specifice), iar x și y, ca de obicei, sunt necunoscute. Numerele a, b, c, d sunt numiți coeficienții pentru necunoscute, iar c și f sunt numiți termeni liberi. Soluția unui astfel de sistem de ecuații se găsește prin două metode principale.

Rezolvarea unui sistem de ecuații prin metoda de substituție.

1. Luăm prima ecuație și exprimăm una dintre necunoscute (x) în ceea ce privește coeficienții și cealaltă necunoscută (y):

x = (s-by) / a

2. Înlocuiți expresia obținută pentru x în a doua ecuație:

d (c-by) / a + ey = f

3. Rezolvând ecuația rezultată, găsim expresia pentru y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Înlocuiți expresia rezultată pentru y în expresia pentru x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Exemplu: trebuie să rezolvați un sistem de ecuații:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Găsiți valoarea lui x din prima ecuație:

x = (2y + 4) / 3

Înlocuiți expresia rezultată în a doua ecuație și obțineți o ecuație cu o variabilă (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, de unde obținem:

y = 1

Acum înlocuim valoarea găsită a y în expresia pentru variabila x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Răspuns: x = 2, y = 1.

2

Soluția sistemului de ecuații prin metoda de adunare (scădere).

Această metodă se reduce la înmulțirea ambelor părți ale ecuațiilor cu numere (parametri) astfel încât, ca urmare, coeficienții uneia dintre variabile coincid (eventual cu semnul opus).

În cazul general, ambele părți ale primei ecuații trebuie înmulțite cu (-d), iar ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu a. Drept urmare, obținem:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Adăugând ecuațiile rezultate, obținem:

-bdu + aeu = -cd + af, de unde obținem expresia pentru variabila y:

y = (af-cd) / (ae-bd), substituind expresia pentru y în orice ecuație a sistemului, obținem:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

din această ecuație găsim a doua necunoscută:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Un exemplu. Rezolvați sistemul de ecuații prin adăugarea sau scăderea:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Înmulțiți prima ecuație cu (-1) și a doua cu 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Adăugând (termen după termen) ambele ecuații, obținem:

11y = 11

Unde ajungem:

y = 1

Substituim valoarea obținută pentru y în oricare dintre ecuații, de exemplu, în a doua, obținem:

3x + 9 = 15, de unde

x = 2

Răspuns: x = 2, y = 1.