Cum se rezolvă ecuațiile cu rădăcini

Uneori în ecuații există un semn al rădăcinii. Mulți studenți par că este foarte dificil să rezolve astfel de ecuații „cu rădăcini” sau, mai corect spus, ecuații iraționale, dar nu este așa.

Manual de instrucțiuni

1

Spre deosebire de alte tipuri de ecuații, de exemplu, sisteme quadratice sau liniare de ecuații, nu există un algoritm standard pentru soluționarea ecuațiilor cu rădăcini, sau mai precis, ecuații iraționale. În fiecare caz particular, este necesar să selectați cea mai potrivită metodă de soluție pe baza „aspectului” și a caracteristicilor ecuației.

Creșterea părților ecuației în același grad.

Cel mai adesea, pentru a rezolva ecuațiile cu rădăcini (ecuații iraționale), se utilizează ridicarea ambelor părți ale ecuației la același grad. De regulă, într-un grad egal cu gradul rădăcinii (pătrat pentru rădăcină pătrată, cub pentru rădăcină cubică). Trebuie avut în vedere faptul că atunci când ridică părțile stânga și dreapta ale ecuației într-un grad egal, el poate avea rădăcini „în plus”. Prin urmare, în acest caz, ar trebui să verifice rădăcinile obținute substituindu-le în ecuație. O atenție deosebită în rezolvarea ecuațiilor cu rădăcini pătrate (uniforme) ar trebui acordată intervalului de valori admisibile ale variabilei (ODZ). Uneori, estimarea ODL singur este suficientă pentru a rezolva sau simplifica semnificativ ecuația.

Un exemplu. Rezolvați ecuația:

√ (5x-16) = x-2

Am pătrat ambele părți ale ecuației:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², de unde obținem succesiv:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Rezolvând ecuația patratică obținută, îi găsim rădăcinile:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Substituind ambele rădăcini găsite în ecuația inițială, obținem egalitatea corectă. Prin urmare, ambele numere sunt soluții ale ecuației.

2

Metoda de introducere a unei noi variabile.

Uneori este mai convenabil să găsești rădăcinile unei „ecuații cu rădăcini” (o ecuație irațională) prin introducerea de noi variabile. De fapt, esența acestei metode este pur și simplu redusă la o înregistrare mai compactă a soluției, adică. în loc să scrie o expresie voluminoasă de fiecare dată, ea este înlocuită de o legendă.

Un exemplu. Rezolvați ecuația: 2x + √x-3 = 0

Puteți rezolva această ecuație pătrând ambele părți. Cu toate acestea, calculele în sine vor arăta destul de greoaie. Odată cu introducerea unei noi variabile, procesul decizional se va dovedi mult mai elegant:

Se introduce o nouă variabilă: y = √ x

Atunci obținem ecuația cvadratică obișnuită:

2y² + y-3 = 0, cu variabila y.

Rezolvând ecuația rezultată, găsim două rădăcini:

y1 = 1 și y2 = -3 / 2, substituind rădăcinile găsite în expresia pentru noua variabilă (y), obținem:

√ x = 1 și √ x = -3 / 2.

Deoarece valoarea rădăcină pătrată nu poate fi un număr negativ (dacă nu atingeți zona numerelor complexe), obținem singura soluție:

x = 1.

soluție rădăcină pătrată