Cum se calculează aria unui paralelogram construit pe vectori

Pe oricare doi vectori noncolari și nul, se poate construi un paralelogram. Acești doi vectori vor contracta o paralelogramă dacă combinați originea la un moment dat. Finalizați laturile figurii.

Manual de instrucțiuni

1

Găsiți lungimile vectorilor dacă coordonatele lor sunt date. Fie, de exemplu, vectorul A să aibă coordonate (a1, a2) în plan. Atunci lungimea vectorului A este | A | = √ (a1² + a2²). În mod similar, găsim modulul vectorului B: | B | = √ (b1² + b2²), unde b1 și b2 sunt coordonatele vectorului B pe plan.

2

Zona de paralelogram se găsește prin formula S = | A | • | B | • sin (A ^ B), unde A ^ B este unghiul dintre vectorii A și B. Sinusul poate fi găsit prin cosinus folosind identitatea trigonometrică principală: sin²α + cos²α = 1. Cosinusul poate fi exprimat în termenii produsului scalar al vectorilor scrise în coordonate.

3

Produsul scalar al unui vector A de către un vector B este notat cu (A, B). Prin definiție, este egal cu (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Și în coordonate, produsul scalar este scris astfel: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. De aici putem exprima cosinusul unghiului dintre vectori: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). În numărător, produsul scalar, în numitor, lungimile vectorilor.

4

Acum putem exprima sinusul din principala identitate trigonometrică: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Dacă presupunem că unghiul α între vectori este acut, minusul cu sinusul poate fi aruncat, lăsând doar semnul plus, deoarece sinusul unghiului acut poate fi doar pozitiv (sau zero la unghiul zero, dar aici unghiul este nul, acesta este afișat în condiție noncolinearitatea vectorilor).

5

Acum trebuie să înlocuim expresia de coordonate pentru cosinus în formula sinusoidală. După aceasta, rămâne doar să scrii rezultatul în formula zonei paralelogramei. Dacă toate acestea sunt făcute și expresia numerică este simplificată, se dovedește că S = a1 • b2-a2 • b1. Astfel, aria paralelogramei construite pe vectorii A (a1, a2) și B (b1, b2) se găsește prin formula S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Expresia rezultată este determinantul matricei compuse din coordonatele vectorilor A și B: a1 a2b1 b2.

7

Într-adevăr, pentru a obține un determinant al unei matrice cu dimensiunea a doua, trebuie să înmulțim elementele diagonalei principale (a1, b2) și să restăm din aceasta produsul elementelor diagonalei laterale (a2, b1).